Двоичное представление информации. Представление чисел в ЭВМ. Кодирование текстовой информации. Кодировка ASCII. Основные используемые кодировки кириллицы
В импульсном сигнале есть два стационарных состояния – наибольший сигнал, которому можно присвоить логическое значение 1, и наименьший сигнал - 0. Два синхронных импульсных сигнала способны описать информацию в 4 логических уровня сигнала. Восемь сигналов дают 256 сочетаний. Таким образом можно представить информации параллельным кодом.
В цифровых устройствах широко используются двоичные числа:
здесь a k = 0 или 1.
K = 0,1…. номер бита (двоичного разряда)
В этой системе десятичные числа можно, например, представить набором битов, как для двух битов в таблице 1.1:
Объем информации оценивается следующим образом:
4 бита- тетрада,
8 бит – байт,
(16 бит – машинное слово),
2 10 байт = 1024 байт = 1 килобайт,
2 10 килобайт = 1024 килобайт = 1 мегабайт = 1048576 байт,
2 10 мегабайт = 1024 мегабайт = 1 гигабайт = 1048576 килобайт,
2 10 гигабайт = 1024 гигабайт = 1терабайт.
На рис. 6.2 (log_1.cd3) представлена таблица генератора части машинного слова для трех битов (С- младший бит) в программе для моделирования логических устройств.
Рис. 11.5. Таблица состояний для трех битов (С - младший бит).
В современных цифровых устройствах используют также шестнадцатиричную систему счислений.
В двоичной системе арифметические операции с числами выполняются с помощью устройств с логическими элементами. Набор логических элементов будет полным, если они реализуют все аксиомы алгебры логики:
1. X=0, если X≠1 и X=1, если X≠0 (“не дано третьего”)
2. и (отрицание)
3. ,, 
(конъюнкиция –«И»)
4. ,, 
(дизъюнкция-«ИЛИ»)
Логические элементы цифровой электроники.
1. Элемент «НЕ».
Рис. 11.6. УГО элемента «НЕ»
Этот элемент для логического отрицания (инверсии). Кружочек на выходном полюсе – признак инверсии.
Таблица 11.2.
В алгебре Буля этой операции соответствует выражение
Пример аппаратной реализации функции приведен на рис.11.7.
Рис.11.7а. demo11_1а. Схема элемента «НЕ» и последовательности импульсов входного (красная) и выходного (синяя) напряжений.
Инверсия сигнала достигается с помощью усилителя напряжения на биполярном транзисторе.
2. Элемент «И».
Рис. 11.8. Условное обозначение логического элемента «И».
Этот элемент логического умножения (конъюнкции) имеет состояние на выходе Y , которое зависит от состояний на входах X 1 и X 2 в соответствие с таблицей 11.3.
Таблица 11.3.
Булево выражение (логическое умножение):
Пример схемы элемента приведен на рис.11.9.
Рис.11.9. demo11_2. Схема, реализующая элемент «&».
В этой схеме логические значения 0 и 1 входных сигналов элемента & создаются источниками X1 и X2 (5В) с помощью переключателей A и B . Верхнему положению переключателя соответствует логическое значение 1. Логическое значение выходного сигнала регистрируется индикатором Y (красный, когда 1 при 1 на обоих входах). Напряжение выходного сигнала измерено вольтметром.
Напряжение на резисторе будет высоким (логическая 1) в том случае, когда оба диода будут заперты обратным напряжением источников X1 и X2. Если хотя бы один диод открыт, то потенциал выходного полюса будет небольшим из-за его заземления через малое сопротивление диода.
3. Элемент «ИЛИ» (дизъюнкция).
Рис. 11.10. Условное обозначение логического элемента «ИЛИ».
Таблица 11.4.
Булево выражение (логическое суммирование):
Пример схемы элемента приведен на рис.11.11.
Рис.11.11. demo11_3. Схема, реализующая элемент «1».
В этой схеме при «1» на любом входе (или на обоих входах) открывается диод (или оба диода) и создается напряжение (логическая «1») на выходе.
4. Элемент «И-НЕ».
Рис. 11.12. Условное обозначение логического элемента «И-НЕ».
Таблица 11.5.
Схема, реализующая эту операцию содержит каскадное включение элементов «&» и «НЕ»
5. Элемент «ИЛИ-НЕ».
Рис. 11.13. Условное обозначение логического элемента «ИЛИ-НЕ».
Таблица 11.4.
Схема, реализующая эту операцию содержит каскадное включение элементов «1» и «НЕ».
Использование логических элементов.
Рассмотренные логические элементы применяются в различных цифровых устройствах. В качестве примера приведена схема, которая обеспечивает 1 на выходе (OUT) в соответствие с таблицей на рис.11.14 (demo11_4).
Рис. 11.14. demo11_4. Таблица состояний в примере.
Для этой таблицы можно составить булево выражение в совершенной дизъюнктивной нормальной форме в виде функции:
В этой форме для каждого набора аргументов, где функция равна 1 записывают их произведение, если значение аргумента равно 1. Если же значение аргумента равно нулю, то аргумент записывают с инверсией.
Так как в 6-ти строках функция имеет значение 1, то получилось 6 конъюнкций (произведений), которые включены в одну дизъюнкцию.
После упрощений с использованием специальных программ логических вычислений (или минимизацией по правилам булевой алгебры) получим:
Возможна запись той же функции в совершенной конъюнктивной нормальной форме. В этой форме составляют логическое произведение сумм. Записывают элементарные суммы для строк, где функция равна 0 . Аргумент записывают с отрицанием, если его значение равно 1.
В нашем примере получим:
Выражению по первому варианту записи соответствует схема из логических элементов, реализующих три операции «И» и две операции «ИЛИ».
Рис. 11.15. demo11_4. Схема, реализующая заданную функцию.
Для испытания полученной схемы подадим последовательность слов, содержащих набор битов на входе по таблице рис.11.14 и на выход включим индикатор сигналов (рис. 11.16). На рисунке изображено состояние, которое установилось конкретно после задания на все входы логического 0.
Рис. 11.16. demo11_5. Пример использования логических элементов.
В примере видно, что на выходе индикатор светится (состояние 1 на выходе схемы) после задания на входы слов, соответствующих 0..2,5..7, и не светится при состояниях входов 3 и 4.
Рассмотренное устройство называется дешифратором. Они широко применяются в схемах управления всевозможными индикаторами.
На рис.11.17 приведен пример demo11_6, в котором показаны результаты вывода в шестнадцатиричной форме двоичных чисел с 4-мя битами.
Рис.11.17. demo11_6. Семисегментный индикатор с дешифратором.
Триггеры.
Важными элементами цифровой электроники являются триггеры – элементы, которые имеют два устойчивых состояния выходного сигнала 0 и 1.
В зависимости от возможностей управления, которые определяются устройством триггера, существует большое количество разных триггеров.
Наиболее распространены RS-триггеры, JK -(cчетные) триггеры, D –триггеры. Подробную справку о разных триггерах можно найти, например, в Википедии.
Простейшая схема RS-триггера и его таблица состояний при последовательном нарастании аргументов приведена на рис. 11.18 .
Рис. 11.18. Схема RS –триггера и состояния при разных состояниях входов. Вход S –(set) установка по каналу A , вход R –(reset) сброс по каналу B , выход Q , инвертированный выход Q` .
Значения аргументов могут изменяться произвольным образом. В общем случае в зависимости от предыстории состояние RS –триггера определяется таблицей на рис.11.19. Первая строка означает, что состояние выхода не изменяется в любом случае, если на оба входа установить 0. Последняя строка запрещает установку обоих входов в 1.
Рис. 11.19. Условное графическое обозначение RS –триггера и таблица состояний при разных состояниях входов.
Существуют так же синхронные триггеры, которые имеют еще входы – тактовый вход (счетный) и запрещающий входы, сигналы на которых разрешают или запрещают изменения состояния триггера.
RS - триггерыиспользуются составной частью в других триггерах.
D- триггер имеет один информационный вход D и один тактовый вход C и имеет таблицу состояний, приведенную на рис.11.20.
Рис. 11.20. Условное графическое обозначение D –триггера и таблица состояний.
D –триггер имеет два выхода и он используется в счетчиках импульсов (см. рис.11.21.). Подача неинвертированного выходного сигнала на вход задержки D позволяет удваивать период выходных импульсов (т.е. уменьшать их частоту в два раза). В демонстрационном примере подсчитывается количество импульсов от генератора. На осциллограммах выходных сигналов видно, что состояние первого от входа счетчика триггера меняется от каждого импульса, второго – от каждого второго импульса, третьего – от каждого четвертого, третьего – от каждого восьмого. На рис. 6.21. зафиксировано состояние наибольшего числа в F (на восьми сегментном дисплее) в шестнадцатиричной системе счисления – 1 во всех четырех разрядах.
Рис. 11.21. demo11_7. Демонстрация последовательного счетчика импульсов на D-триггере.
Счетчики импульсов используются в электронных часах. На рис.11.22 приведена схема таймера на 1 час.
Рис. 11.22. demo11_8. Таймер.
В таймере используются интегральные микросхемы счетчиков импульсов на JK- триггерах.
В этой демонстрации видно, что при отключении последовательности импульсов от тактового генератора кнопкой S состояние триггеров остается неизменным (если питание триггеров сохраняется). Это позволяет строить на основе триггеров устройства оперативной памяти – регистры.
В настоящее время существует много интегральных микросхем специального назначения, которые реализуют операции хранения (ЗУ – запоминающие устройства, памяти) и обработки цифровой информации (АЛУ-арифметико-логические устройства для операций с числами).
Тема лекции: Представление информации Представление информации
Двоичное кодирование информации.
1. Представление информации.
2. Естественные и формальные языки.
3. Двоичное кодирование информации.
1. Представление информации.
Одну и ту же информацию можно представить и передать по-разному . Например, в книгах, газетах и журналах информация представлена в виде текстов и изображений. Ту же самую информацию, мы можем услышать по радио или увидеть по телевидению. Здесь она будет представлена в виде последовательности звуков (речи диктора в соответственно в виде некоторого видеоряда). При этом отличаются лишь способы представления информации, а сама информация остается неизменной . От того, как представлена информация, зависит очень многое, например, в практических задачах важно выбрать тот способ преставления информации, который будет наиболее удобен.
2. Естественные и формальные языки.
Для обмена информацией с другими людьми человек использует естественные языки. Основу любого языка составляет алфавит, или набор символов, которые различаются по начертанию. Основные объекты языка - слова - образуются из последовательностей символов, составленных в соответствии с правилами грамматики . Из слов строятся предложения. Причем они также строятся в соответствии с определенными правилами, которые называются синтаксисом языка. Здесь следует отметить, что в естественных языках и грамматические и синтаксические правила имеют исключения.
Наряду с естественными языками существуют и разработанные человеком формальные языки - нотная азбука, транскрипция, языки программирования и др. Основное отличие формальных языков от естественных состоит в наличии не только жестко зафиксированного алфавита , но и строгих привил грамматики и синтаксиса, которые не имеют исключений.
Таким образом, представление информации посредством формальных естественных языков производится с помощью алфавита - определенного набора знаков.
Знаки могут иметь различную физическую природу, например, для письма служат знаки, которые являются изображением на бумаге, а при обработке текста на компьютере знаки представляются в виде последовательностей электрических импульсов (т. е. некоторым образом кодируются). Вообще, кодированием называется представление символов одного алфавита символами другого. В качестве простейшей системы кодирования можно привести известную всем азбуку Морзе.
В процессе обмена информацией часто приходится производить операции кодирования и декодирования информации.
3. Двоичное кодирование информации.
Вся информация, которая попадает в компьютер, преобразуется в последовательность электрических импульсов. Наличие импульса принято условно обозначать "1", а его отсутствие - "0".Т акой способ кодирования информации называется двоичным или бинарным. Один двоичный символ получил название бит ( bit - от английского binary digit двоичная цифра"). Таким образом, двоичное кодирование это представление информации при помощи минимально возможного числа элементарных символов.
С точки зрения инженеров двоичное кодирование привлекательно тем, что легко реализуется технически. Действительно, электронные схемы для обработки двоичных кодов должны находится только в одном из двух состояний - есть сигнал/нет сигнала (или высокое напряжение/низкое напряжение). А так как состояний всего два, то их легко различать, а схему легко переключать из одного состояния в другое.
Кроме того, двоичное кодирование автоматически дает способ кодирования чисел в двоичной системе счисления. В такой системе особенно легко выполнять арифметические операции.
В настоящее время созданы технические устройства, которые могут надежно сохранять и распознавать информацию, закодированную с помощью всего двух состояний (т.е. в двоичной системе кодирования):
Электромагнитные реле (замкнуто/разомкнуто), которые -широко использовались при конструировании первых ЭВМ;
Поверхности магнитных носителей информации (намагничено/размагничено);
Поверхности лазерных дисков (отражает/не отражает);
Триггер, который может находиться в одном из двух состояний О или 1, широко используется в оперативной памяти компьютера.
Таким образом, в компьютерах используют двоичную систему потому, что она имеет ряд преимуществ перед другими системами:
Для ее реализации нужны технические устройства с двумя устойчивыми состояниями (есть ток - нет тока, намагничен - не намагничен и т. п.), а не, например, с десятью, - как в десятичной;
- представление информации посредством только двух состояний надежно и помехоустойчиво;
- возможно применение аппарата алгебры логики для выполнения логических преобразований информации;
Двоичная арифметика намного проще десятичной. Недостаток двоичной системы - это быстрый рост числа разрядов, необходимых для записи даже относительно небольших чисел.
Системы счисления Информация в компьютере кодируется в двоичной или в двоично-десятичной системах счисления. Система счисления - способ именования и изображения чисел с помощью символов, имеющих определенные количественные значения. В зависимости от способа изображения чисел системы счисления делятся:
на позиционные;
непозиционные.
положительные значения индексов – для целой части числа (m разрядов)
отрицательные значения - для дробной (s разрядов).
(3)
Имея в целой части числа m, а в дробной - S разрядов, можно записать всего Р m + s разных чисел.Двоичная система счисления имеет основание Р
= 2 и использует для представления информации всего две цифры - 0 и 1.Существуют правила перевода чисел из одной системы счисления в другую, основанные в том числе и на соотношении (1).Например, двоичное число 101110,101 равно десятичному числу 46,625:Практически перевод из двоичной системы в десятичную можно легко выполнить, надписав над каждым разрядом соответствующий ему вес и сложив затем произведения значений соответствующих цифр на их веса.Двоичное число 01000001; равно 65 10 . Действительно, 64 1 + 1 1 = 65. | Вес | 64 | 16 | 8 | 4 | 2 | ||
| Цифра | 1 | 0 | 0 | 0 |
естественная форма или форма с фиксированной запятой (точкой);
нормальная форма или форма с плавающей запятой (точкой).
00721,35500; +00000,000328; -10301,20260.
Эта форма наиболее проста, естественна, но имеет небольшой диапазон преставления чисел и поэтому чаще всего неприемлема при вычислениях. Диапазон значащих чисел N
в системе счисления с основанием Р
при наличии т
разрядов в целой и s разрядов в дробной части числа (без учета знака числа) 6удет таким:Например, при Р=2,m=10 и s=6 числа изменяются в диапазоне0,015<
М
<
1024. Если в результате операции получится число, выходящее за допустимые пределы, произойдет переполнение разрядной сетки и дальнейшие вычисления потеряют смысл. В современных компьютерах естественная форма представления используется как вспомогательная и только для целых
чисел. В форме представления с плавающей
запятой
каждое число изображается в в виде двух групп цифр. Первая группа цифр называется мантиссой,
вторая - поряд
ком
, причем абсолютная величина мантиссы должна быть меньше 1, а порядок - целым числом. В общем виде число в форме с плавающей запятой может быть представлено так:
где М
-
мантисса числа (|М|
<
1); r - порядок числа (целое число); Р
-
основание системы счисления. Например, приведенные ранее числа в нормальной форме запишутся так: Нормальная форма представления имеет огромный диапазон отображения чисел и является основной в современных компьютерах. Так, диапазон значащих чисел в системе счисления с основанием Р
при наличии т
разрядов у мантиссы и s
разрядов у порядка (без учета знаковых разрядов порядка и мантиссы) будетПриведем пример. При Р
=
2, т
= 22 и s = 10 диапазон чисел простирается примерно от 10 -300 до 10 300 . Для сравнения: количество секунд, которые прошли с момента образования планеты Земля, составляет всего 10 18 .Следует заметить, что все числа с плавающей запятой хранятся в машине в так называемом нормализованном виде. Нормализованным
называют такое число, в старшем разряде мантиссы которого стоит единица. У нормализованных двоичных чисел, следовательно,
. Особенности представления информации в ПК
Числовая информация внутри ПК кодируется в двоичной или в двоично-десятичной системах счисления; при вводе и выводе любой информации используются специальные коды представления информации - коды ASCII, эти же коды применяются для кодирования буквенной и символьной информации и внутри ПК.Для удобства работы введены следующие термины для обозначения совокупностей двоичных разрядов (см. табл. 1). Эти термины обычно используются в качестве единиц измерения объемов информации, хранимой или обрабатываемой в компьютере.Последовательность нескольких битов или байтов часто называют полем
данных.
Биты в числе (в слове, в поле и т. п.) нумеруются справа налево, начиная с 0-го разряда. В ПК могут обрабатываться поля постоянной
и переменной
длины. Поля постоянной длины:
слово - 2 байта;
двойное слово - 4 байта;
полуслово - 1 байт;
расширенное слово - 8 байтов
| Количество двоичных разрядов в группе Наименование единицы измерения ___ |
| 1 Бит |
| 8 Байт |
| 16 Параграф |
| 8 1024 Кбайт (килобайт) |
| 8 1024 2 Мбайт (мегабайт) |
| 8 1024 3 Гбайт (гигабайт) |
| 8 1024 4 Тбайт (терабайт) |
| 8 1024 3 Пбайт (петабайт) |
Рис. 1 
Рис. 2Двоично-кодированные десятичные числа могут быть представлены в ПК полями переменной длины в так называемых упакованном (рис. 5.3) и распакованном форматах. В упакованном формате для каждой десятичной цифры отводится по 4 двоичных разряда (полбайта), при этом знак числа кодируется в крайнем правом полубайте числа (1100 - знак «+» и 1101 - знак «-»).
Рис. 3Здесь и далее: Цф - цифра, Знак - знак числа. Упакованный формат используется в ПК обычно при выполнении операций сложения и вычитания двоичнодесятичных чисел.В распакованном формате (рис. 4) для каждой десятичной цифры выделяется по целому байту, при этом старшие полубайты (зона) каждого байта (кроме самого
младшего) в ПК заполняются кодом 0011 (в соответствии с ASCII-кодом), а в младших (левых) полубайтах обычным образом кодируются десятичные цифры. Старший полубайт (зона) самого младшего (правого) байта используется для кодирования знака числа.Рис. 4Распакованный формат используется в ПК при вводе-выводе информации, а также при выполнении операций умножения и деления двоично-десятичных чисел.Например, число -193 10 = -000110010011 (2- 10) в ПК будет представлено:О в упакованном формате:О в распакованном формате:Код ASCII (American Standart Code for Information - американский стандартный код для обмена информацией) имеет основной стандарт и его расширение.
Основной стандарт для кодирования символов использует шестнадцатеричные коды 00-7F, расширение стандарта - 80-FF.Основной стандарт является международным и применяется для кодирования управляющих символов, цифр, знаков пунктуации, букв латинского алфавита и других символов; в расширении стандарта кодируются символы псевдографики и буквы национального алфавита (естественно, в разных странах разные).Пользоваться таблицей довольно просто. Следует приписать шестнадцатеричную цифру номера строки справа к шестнадцатеричной цифре номера столбца. Так получится шестнадцатеричный код символа.Вопросы для самопроверки
1. Что такое система счисления? 2. Какие системы счисления используются для представления информации в ком- пьютерах? 3. Выполните несколько операций перевода чисел из десятичной системы счис- ления в двоичную и обратно. 4. Выполните несколько операций перевода чисел из десятичной системы счис- ления в двоично-десятичную и обратно. 5. Дайте краткую характеристику форм представления информации с фиксиро- ванной и плавающей запятой (точкой). 6. Дайте краткую характеристику кодов алгебраического представления чисел (прямого, обратного, дополнительного). 7. Выполните ряд операций сложения и умножения чиселв
дополнительных кодахс
фиксированной и плавающей запятой (точкой). 8. Назовите наименования основных двоичных совокупностей в компьютерах и определите их размер. 9. Что такое поля данных постоянной и переменной длины? Какова их разряд- ность в персональных компьютерах? 10. Что такое ASCII-коды? Приведите их структуру и укажите назначение. 11. Рассмотрите и запомните ASCII-коды представления десятичных ци Тема: Физическая и функциональная структура микропроцессора Цель : Изучение физической и функциональной структуры икропроцессора Intel Pentium Знат ь: физическую структуру и функциональное назначение структурных элементов микропроцессора, классификацию и назначение регистров . Уметь : Изображать функциональную схему микропроцессора Физическая структура микропроцессора достаточно сложна. Ядро процессора содержит главный управляющий и исполняющие модули - блоки выполнения операций над целочисленными данными. К локальным управляющим схемам относятся: блок плавающей запятой, модуль предсказания ветвлений, модуль преобразования СISС-инструкций во внутренний RISС-микрокод, регистры микропроцессорной памяти (в МП типа VLIW до 256 регистров), регистры кэш-памяти 1-го уровня (отдельно для данных и инструкций), шинный интерфейс и многое другое. В состав микропроцессора Pentium обычно входят следующие физические ком-поненты: О Со r е - ядро МП; О Ехес utio п и ni t - исполняющий модуль; О Integer ALU - АЛУ для операций с целыми числами (с фиксированной запя-той); О Registers - регистры; О Floating Point Unit - блок для работы с числами с плавающей запятой; О Primary Cashe - кэш первого уровня, в том числе кэш данных (Data Сас h е) и кэш команд (Сode Сас h е); О Instruction Decode and Prefetch Unit и Branch Predictor - блоки декодирования инструкций, опережающего их исполнения и предсказания ветвлений; О Bus Interface - Интерфейсные шины, в том числе 64- и 32-битовая, и выход на системную шину к оперативной памяти. Функционально МП можно разделить на две части:
- операционную
часть, содержащую устройство управления (УУ), арифметико-логическое устройство (АЛУ) и микропроцессорную память (МПП) (за ис-ключением нескольких адресных регистров);
интерфейсную часть, содержащую-адресные регистры МПП; блок регистров команд - регистры памяти для хранения кодов команд, выполняемых в ближайшие такты; схемы управления шиной и портами.
Обе части МП работают параллельно, причем интерфейсная часть опережает операционную, так что выборка очередной команды из памяти (ее запись в блок регистров команд и предварительный анализ) выполняется во время выполнения операционной частью предыдущей команды. Современные микропроцессоры имеют несколько групп регистров в интерфейсной части, работающих с различной степенью опережения, что позволяет выполнять операции в конвейерном режиме. Такая организация МП позволяет существенно повысить его эффективное быстродействие.
Устройство управления
Устройство управления (УУ) является функционально наиболее сложным устройством ПК - оно вырабатывает управляющие сигналы, поступающие по кодовым шинам инструкций (КШИ) во все блоки машины. Упрощенная функциональная схема У У показана на рис. 8.1.
На рис. 8.1 представлены:
регистр команд - запоминающий регистр, в котором хранится код команды: код выполняемой операции (КОП) и адреса операндов, участвующих в операции. Регистр команд расположен в интерфейсной части МП, в блоке регистров команд;
дешифратор операций - логический блок, выбирающий в соответствии с поступающим из регистра команд кодом операции (КОП) один из множества имеющихся у него выходов;
постоянное запоминающее устройство (ПЗУ) микропрограмм хранит в своихячейках управляющие сигналы (импульсы), необходимые для выполнения в блоках ПК процедур обработки информации. Импульс по выбранному дешифратором операций в соответствии с кодом операции проводу считывает из ПЗУ микропрограмм необходимую последовательность управляющих сигналов;
узел формирования адреса (находится в интерфейсной части МП) - устройство, вычисляющее полный адрес ячейки памяти (регистра) по реквизитам, поступающим из регистра команд и регистров МПП;
кодовые шины данных, адреса и инструкций - часть внутренней интерфейсной шины микропроцессора.
В общем случае УУ формирует управляющие сигналы для выполнения следую-
щих основных процедур;
выборки из регистра-счетчика 1Р (см. рис. 8.3) адреса команды МПП и адресаячейки ОЗУ, где хранится очередная команда программы;
выборки из ячеек ОЗУ кода очередной команды и приема считанной команды в регистр команд;
расшифровки кода операции и признаков выбранной команды;
считывания из соответствующих расшифрованному коду операции ячеек ПЗУ микропрограмм управляющих сигналов (импульсов), определяющих во всех блоках машины процедуры выполнения заданной операции, и пересылки управляющих сигналов в эти блоки;
считывания из регистра команд и регистров МПП отдельных составляющих адресов операндов (чисел), участвующих в вычислениях, и формирование полных адресов операндов;
выборки операндов (по сформированным адресам) и выполнения заданной операции обработки этих операндов;
записи результатов операции в память;
формирования адреса следующей команды программы,
Арифметико-логическое устройство
Арифметико-логическое устройство (АЛУ) предназначено для выполнения арифметических и логических операций преобразования информации. Функционально в простейшем варианте АЛУ (рис. 8.2) состоит из двух регистров, сумматора и схем управления (местного устройства управления).
Сумматор - вычислительная схема, выполняющая процедуру сложения поступающих на ее вход двоичных кодов; сумматор имеет разрядность двойного машинного слова.
Регистры - быстродействующие ячейки памяти различной длины: регистр 1 имеет разрядность двойного слова, а регистр 2 - разрядность слова. При выполнении операций в регистр 1 помещается первое число, участвующее в операции, а по завершении операции - результат; в регистр 2 - второе число, участвующее в операции (по завершении операции информация в нем не изменяется). Регистр 1 может и принимать информацию с кодовых шин данных, и выдавать информацию на них; регистр 2 только"получает информацию с этих шин.
Схемы управления принимают по кодовым шинам инструкций управляющие сигналы от устройства управления и преобразуют их в сигналы для управления работой регистров и сумматора АЛУ.
АЛУ выполняет арифметические операции «+»,«-», «х» и «:» только над двоичной информацией с запятой, фиксированной после последнего разряда, то есть только над целыми двоичными числами. Выполнение операций над двоичными числами с плавающей запятой и над двоично-кодированными десятичными числами осуществляется с привлечением математического сопроцессора или по специально составленным программам.
Рассмотрим в качестве примера выполнение команды умножения. Перемножаются числа 1101 и 1011 (числа для простоты взяты 4-битовыми). Множимое находится в регистре 1, имеющем удвоенную по отношению к регистру 2 разрядность; множитель размещается в регистре 2. Операция умножения требует для своего выполнения нескольких тактов. В каждом такте число из регистра 1 проходит в сумматор (имеющий также удвоенную разрядность) только в том случае, если в младшем разряде регистра 2 находится 1.
Лекция Базы данных и файловые системы На первой лекции мы рассмотрим общий смысл понятий бд и субд. Начнем с того, что с самого начала развития вычислительной техники образовались два основных направления ее использования.
ЛекцияНа первой лекции мы рассмотрим общий смысл понятий БД и СУБД. Начнем с того, что с самого начала развития вычислительной техники образовались два основных направления ее использования.
П. Ф. Лесгафта г. Санкт-Петербург П. Г. Бордовский информатика лекции
ЛекцииЕсли не рассматривать информатику как науку, представляющую отдельную область знаний, основанных преимущественно на математике, логике и криптографии, а рассмотреть как процесс освоения основ обработки информации с помощью компьютера,
В данном примере в первом такте число 1101 пройдет в сумматор, и в этом же первом такте число в регистре 1 сдвигается на 1 разряд влево, а число в регистре 2 - на 1 разряд вправо. В конце такта после сдвигов в регистре 1 будет находиться число 11010, а в регистре 2 - число 101.
Во втором такте число из регистра 1 пройдет в сумматор, так как младший разряд в регистре 2 равен 1; в конце такта числа в регистрах опять будут сдвинуты влево и вправо так, что в регистре 1 окажется число 110100, а в регистре 2 - число 10.
В третьем такте число из регистра 1 не пройдет в сумматор, так как младший разряд в регистре 2 равен 0; в конце такта числа в регистрах будут сдвинуты влево и вправо так, что в регистре 1 окажется число 1101000, а в регистре 2 - число 1.
На четвертом такте число из регистра 1 пройдет в сумматор, поскольку младший разряд в регистре 2 равен 1; в конце такта числа в регистрах будут сдвинуты влево и вправо так, что в регистре 1 окажется число 11010000, а в регистре 2 - число 0. Поскольку множитель в регистре 2 стал равным 0, операция умножения заканчивается. В результате в сумматор последовательно поступят и будут сложены числа: 1101, 11010, 1101000; их сумма 10001111 (143 в десятичной системе) и будет равна произведению чисел 1101 х 1011 (13 х 11 десятичные).
В двоичной системе счисления используются всего две цифры 0 и 1. Другими словами, двойка является основанием двоичной системы счисления. (Аналогично у десятичной системы основание 10.)
Чтобы научиться понимать числа в двоичной системе счисления, сначала рассмотрим, как формируются числа в привычной для нас десятичной системе счисления.
В десятичной системе счисления мы располагаем десятью знаками-цифрами (от 0 до 9). Когда счет достигает 9, то вводится новый разряд (десятки), а единицы обнуляются и счет начинается снова. После 19 разряд десятков увеличивается на 1, а единицы снова обнуляются. И так далее. Когда десятки доходят до 9, то потом появляется третий разряд – сотни.
Двоичная система счисления аналогична десятичной за исключением того, что в формировании числа участвуют всего лишь две знака-цифры: 0 и 1. Как только разряд достигает своего предела (т.е. единицы), появляется новый разряд, а старый обнуляется.
Перевод чисел из двоичной системы счисления в десятичную
Не трудно заметить, что в двоичной системе счисления длины чисел с увеличением значения растут быстрыми темпами. Как определить, что значит вот это: 10001001? Непривычный к такой форме записи чисел человеческий мозг обычно не может понять сколько это. Неплохо бы уметь переводить двоичные числа в десятичные.
В десятичной системе счисления любое число можно представить в форме суммы единиц, десяток, сотен и т.д. Например:
1476 = 1000 + 400 + 70 + 6
1476 = 1 * 103 + 4 * 102 + 7 * 101 + 6 * 100
Посмотрите на эту запись внимательно. Здесь цифры 1, 4, 7 и 6 - это набор цифр из которых состоит число 1476. Все эти цифры поочередно умножаются на десять возведенную в ту или иную степень. Десять – это основание десятичной системы счисления. Степень, в которую возводится десятка – это разряд цифры за минусом единицы.
Аналогично можно разложить и любое двоичное число. Только основание здесь будет 2:
10001001 = 1*27 + 0*26 + 0*25 + 0*24 + 1*23 + 0*22 + 0*21 + 1*20
1*27 + 0*26 + 0*25 + 0*24 + 1*23 + 0*22 + 0*21 + 1*20 = 128 + 0 + 0 + 0 + 8 + 0 + 0 + 1 = 137
Т.е. число 10001001 по основанию 2 равно числу 137 по основанию 10. Записать это можно так:
100010012 = 13710
Почему двоичная система счисления так распространена?
Дело в том, что двоичная система счисления – это язык вычислительной техники. Каждая цифра должна быть как-то представлена на физическом носителе. Если это десятичная система, то придется создать такое устройство, которое может быть в десяти состояниях. Это сложно. Проще изготовить физический элемент, который может быть лишь в двух состояниях (например, есть ток или нет тока). Это одна из основных причин, почему двоичной системе счисления уделяется столько внимания.
Перевод десятичного числа в двоичное
Может потребоваться перевести десятичное число в двоичное. Один из способов – это деление на два и формирование двоичного числа из остатков. Например, нужно получить из числа 77 его двоичную запись:
77 / 2 = 38 (1 остаток)
38 / 2 = 19 (0 остаток)
19 / 2 = 9 (1 остаток)
9 / 2 = 4 (1 остаток)
4 / 2 = 2 (0 остаток)
2 / 2 = 1 (0 остаток)
1 / 2 = 0 (1 остаток)
Собираем остатки вместе, начиная с конца: 1001101. Это и есть число 77 в двоичном представлении. Проверим:
1001101 = 1*26 + 0*25 + 0*24 + 1*23 + 1*22 + 0*21 + 1*20 = 64 + 0 + 0 + 8 + 4 + 0 + 1 = 77
1.1 Непозиционные системы счисления
1.2 Позиционные системы счисления
2. Перевод чисел из одной системы счисления в другую
2.1 Перевод целых чисел из одной позиционной системы счисления в другую
2.2. Перевод правильных дробей
2.3 Перевод неправильных дробей
2.4 Перевод чисел из системы счисления в систему с кратным основанием
3. Выбор системы счисления для применения в ЭВМ
4. Двоичная система счисления
4.1 Навыки обращения с двоичными числами
5. Формы представления двоичных чисел в ЭВМ
6. Точность представления чисел в ЭВМ
Литература
Введение
Тема реферата по курсу «Прикладная теория цифровых автоматов» - «Представление численной информации в ЭВМ. Системы счисления».
Цель написания реферата:
ознакомится с понятием системы счисления; классификацией систем счисления; переводом чисел из одной системы счисления в другую; выбором системы счисления для применения в ЭВМ; двоичной системой счисления; формами представления двоичных чисел в ЭВМ; точностью представления чисел в ЭВМ и др.
1.Понятие системы счисления. Классификация систем счисления. Позиционные и непозиционные системы счисления
Системы счисления были созданы в процессе хозяйственной деятельности человека, когда у него появилась потребность в счете, а по мере развития научной и технической деятельности возникла также необходимость записывать числа и производить над ними вычисления
Системой счисления называется совокупность символов и приемов, позволяющих однозначно изображать числа.Или, в общем случае, это специальный язык, алфавитом которого являются символы, называемые цифрами, а синтаксисом - правила, позволяющие однозначно сформировать запись чисел. Запись числа в некоторой системе счисления называется кодом числа. В общем случае число записывается следующим образом:
А=а n a n -1 ... а 2 a 1 а 0
Отдельную позицию в записи числа принято называть разрядом, а номер позиции - номером разряда, количество разрядов в записи числа - это разрядность и она совпадает с длиной числа. В техническом плане длина числа интерпретируется как длина разрядной сетки. Если алфавит имеет р различных значений, то разряд a і в числе рассматривается как р-ичная цифра, которой может быть присвоено каждое из р значений.
Каждой цифре a і данного числа А однозначно соответствует ее количественный (числовой) эквивалент - К(a і). При любой конечной разрядной секе количественный эквивалент числа А будет принимать в зависимости от кличественных отдельных разрядов значения от К(А) min до К(А) max .
Диапазон представления (D) чисел в данной системе счисления - это интервал числовой оси, заключенный между максимальными и минимальными числами, представленными заданной разрядностью (длиной разрядной сетки):
D = К(А) ( p ) max - К(А) ( p ) min .
Существует бесчисленное множество способов записи чисел цифровыми знаками. Однако, любая система счисления, предназначенная для практического использования, должна обеспечивать:
1) возможность представления любого числа в заданном диапазоне чисел;
2) однозначность представления;
3) краткость и простоту записи чисел;
4) легкость овладения системой, а также простоту и удобство оперировать ею.
В зависимости от целей применения используют различные системы счисления: 2-ю, 10-ю, 8-ю, 16-ю, римскую, а для исчисления времени - система счисления времени и т.д.
В зависимости от способа записи чисел и способа вычисления их количественного эквивалента системы счисления можно классифицировать следующим образом (рис. 1)
В основном системы счисления строятся по следующему принципу:
А (p) = а n р n +а n -1 p n -1 …..+а 1 р 1 ,
где А (p) - запись числа в системе с базисом р і ;
а і - база или последовательность цифр системы счисления с р i -чным алфавитом
р i - базис системы счисления (совокупность весов отдельных разрядов системы счисления). Базис десятичной системы счисления 10 0 , 10 1 , 10 2 , 10 3 , ..., 10 п.
База системы счисления может быть положительной (0,1,2...9), но может быть и смешанной (1,
).
Рисунок. 1- Классификация систем счисления
Основанием системы счисления называется количество различных символов (цифр), используемых в каждом из разрядов для изображения числа в данной системе счисления.
Вес разряда R i в любой системе счисления - это отношение R i = p i / p 0 .
1.1 Непозиционные системы счисления
Непозиционные системы счисления - это системы счисления, алфавит которых содержит неограниченное количество символов (цифр), причем количественный эквивалент любой цифры постоянен и зависит только от начертания и не зависит от положения в числе. Такие системы строятся по принципу аддитивности, т.е. количественный эквивалент числа определяется как сумма цифр в числе. Наиболее известными представителями непозиционных систем счисления являются иероглифические и алфавитные, в частности, иероглифическая система - римская система счисления. Запись чисел в алфавитных системах счисления строится по такому же принципу.
К основным недостаткам непозиционных систем счисления можно отнести:
1) отсутствие нуля;
2) необходимость содержания бесконечного количества символов;
3) сложность арифметических действий.
Основное внимание уделим позиционным системам счисления.
1.2 Позиционные системы счисления
Позиционными называются такие системы счисления, алфавит которых содержит ограниченное количество символов, причем значение каждой цифры определяется не только ее начертанием, но и находится в строгой зависимости от позиции в числе. Основное достоинство позиционных систем счисления - удобство выполнения вычислений.
Позиционные системы счисления разделяются на ряд подклассов.
Неоднородные позиционные системы счисления (со смешанным основанием)
В таких системах счисления в каждом разряде количество допустимых символов может быть различно значения не зависят друг от друга и могут принимать любые значения. Примером неоднородной позиционной системы счисления может служить система счисления времени, для которой Р 0 - 1сек,Р 1 - 60 сек, Р 2 - 60 мин, Р 3 - 24 часа, Р 4 - 365 суток.
Однородные позиционные системы счисления.
Это частный случай позиционных систем счисления, в них веса отдельных разрядов представляют собой ряд членов геометрической прогрессии со знаменателем p. Поэтому число в однородных системах может быть представлено в общем случае полиномом вида:
А (p) = а n р n + а n -1 р n -1 + ... а 1 р 1 + а 0 р 0 + а -1 р -1 +...+ а - k р - k ,
Основанием однородной позиционной системы может быть любое целое число, так как в определении позиционных систем счисления не наложено никаких ограничений на величину основания. Поэтому возможно бесчисленное множество позиционных систем счисления.
Обычно число в однородной системе счисления записывается в сокращенном виде:
А (p) = а n а n -1 ... а 1 а 0 а -1 ... а - k ,
а название системы счисления определяет ее основание: десятеричная, двоичная, восьмеричная, и т.д. Для любой позиционной системы счисления справедливо, что ее основание изображается символами 10 в своей системе.
Кодированные системы счисления
Это такие системы, в которых цифры одной системы счисления кодируются при помощи цифр другой системы. Примером может служить двоично-десятичная система с весами (8-4-2-1) или (8-4-2-1+3).
2. Перевод чисел из одной системы счисления в другую
Существует два основных метода перевода чисел из одной системы счисления в другую: табличный и расчетный .
Табличный метод прямого перевода основан на сопоставлении таблиц соответствия чисел различных систем счисления. Этот метод очень громоздок и требует очень большого объема памяти для хранения таблиц, но применим для любых систем счисления.
Расчетный метод перевода применим только для позиционных однородных систем счисления.
2.1 Перевод целых чисел из одной позиционной системы счисления в другую
Пусть задано число А в произвольной позиционной системе счисления с основанием Lи его необходимо перевести в новую систему счисления с основанием Р, т.е. преобразовать к виду:
А (p) = а n р n + а n -1 р n -1 + ... а 1 р 1 + а 0 р 0 , (2.1)
где a i = 0 ÷ (p-1) - база новой системы счисления.
Это выражение можно записать в виде:
А=А 1 р+а 0 ,
где А 1 = (а n р n -1 + а n -1 р n -2 + ... а 2 р 1 + а 1) - целая часть частного,
а 0 - остаток от деления А/р, который является цифрой младшего разряда искомого числа.
При делении числа А 1 на р получим остаток а 1 и т.д. Иными словами, если записать выражение (2.1) по схеме Горнера:
,после чего правую часть последовательно разделить на основание новой системы счисления р, то получим коэффициенты:
При этом деление продолжается до тех пор, пока не окажется, что
Правило перевода целых чисел из одной позиционной системы счисления в другую формулируется следующим образом:
Чтобы перевести целое число из одной позиционной системы счисления в другую необходимо исходное число последовательно делить на основание новой системы счисления, записанное в исходной системе счисления, до получения частного, равного нулю. Число в новой системе счисления записывается из остатков от деления, начиная с последнего.
Рассмотрим в качестве примера перевод целого числа 138 в двоичную, восьмеричную, шестнадцатиричную системы счисления.
138, 69, 34, 17, 8, 4, 2, 1, 0- частное
0 1 0 1 0 0 0 1 - остаток
138, 17, 2, 0- частное
10 = 2 = 8 = 16
При переводе из двоичной системы счисления в десятичную исходное число необходимо делить на основание новой системы, т.е. на 1010 2 .
Деление выполнить в двоичной системе трудно, поэтому на практике удобнее пользоваться общей записью числа в виде полинома. При переводе двоичных чисел в десятичную систему счисления обычно подсчитывают сумму степеней основания 2, при которых коэффициенты а і равны 1. Расчеты при этом ведутся в десятичной системе.
2.2 Перевод правильных дробей
Пусть правильную дробь А, заданную в произвольной позиционной системе счисления с основанием L необходимо перевести в новую систему с основанием Р, т.е. преобразовать ее к виду:
А= а -1 р -1 +...+ а - k р - k , (2.2)
если, аналогично переводу целых чисел разделить обе части выражения на р -1 , т.е умножить на р, то получим:
Ар = а -1 + А 1 ,
где А 1 = а -2 р -1 + а -3 р -2 +...+ а - k р - k +1 - дробная часть произведения,
а -1 - целая часть результата.
Полученная при этом цифра целой части результата и будет первой цифрой искомого числа. Умножив теперь дробную часть результата на основание новой системы счисления, получим:
А 1 р = а -2 + А 2 ,
где А 2 - дробная часть произведения,
а -2 - следующая цифра искомого числа.
Следовательно, при переводе выражение (2.2) представляется по схеме Горнера:
А = р -1 (а -1 +р -1 (а -2 + ... + р -1 (а -к+1 + р -1 а -к)...)).
Для перевода правильной дроби из одной позиционной системы счисления в другую ее надо последовательно умножать на основание новой системы счисления до тех пор, пока в новой дроби не будет нужного количества цифр, которое определяется требуемой точностью представления дроби. Правильная дробь в новой системе счисления записывается из целых частей произведений получающихся при последовательном умножении, причем первая целая часть будет старшей цифрой новой дроби.
Рассмотрим в качестве примера перевод правильной дроби 0,536 в двоичную, восьмеричную, шестнадцатиричную системы счисления
10 = 2 = 8 = 16
| 0, | 0, | 0, | |||
| 1, | 4, | 8, | |||
| 0, | 2, | 9, | |||
| 0, | 2, | 3, | |||
| 0, | 3, | 7, | 296 | ||
| 1, | 3, | ||||
| 0, | 5, | 184 | |||
| 0, | 608 |
Перевод дроби в общем случае представляет собой бесконечный процесс. Число цифр в новой системе счисления необходимо определять из условия, что точность представления числа в новой системе должна соответствовать точности в исходной системе.
2.3 Перевод неправильных дробей
При переводе неправильной дроби необходимо отдельно перевести целую и дробную части по вышеизложенным правилам и записать число в новой системе счисления, оставив неизменным положение запятой.
2.4 Перевод чисел из системы счисления в систему с кратным основанием
Если основания систем счисления кратны друг другу, т.е. связаны зависимостью:l=p m , то каждая цифра системы счисления с основанием l может быть представлена m цифрами в системе с основанием p.
Следовательно, для того, чтобы перевести число из исходной системы в новую, основание которой кратно основанию исходной системы, достаточно каждую цифру переводимого числа записать при помощи m цифр в новой системе счисления, если основание исходной системы больше основания новой системы счисления. В противном случае каждые m цифр исходного числа необходимо записать при помощи одной цифры в новой системе счисления, начиная для целых чисел с младшего разряда и для правильных дробей - со старшего.
10 = 2 = 8 ; 2 = 16
10 = 2 = 8: 2 = 16
3. Выбор системы счисления для применения в ЭВМ
Очевидно, что непозиционные системы счисления непригодны для применения в ЭВМ в силу своей громоздкости и трудности выполнения арифметических операций.
Из позиционных наиболее удобны однородные. С точки зрения применения в ЭВМ учитываются следующие факторы.
1. Наличие физических элементов, способных изобразить символы системы.
2. Экономичность системы, т.е. количество элементов необходимое для представления многоразрядных чисел.
3. Трудоемкость выполнения арифметических операций в ЭВМ.
4. Быстродействие вычислительных систем.
5. Наличие формального математического аппарата для анализа и синтеза вычислительных устройств.
6. Удобство работы человека с машиной.
7. Помехоустойчивость кодирования цифр на носителях информации.
Исторически сложилось так, что для применения в ЭВМ была выбрана двоичная система счисления, которая наиболее полно соответствует этим критериям.
В современных универсальных ЭВМ применяются как двоичная, так и десятичная системы счисления. Причем цифры последней кодируются двоичными символами, т. е. речь идет в действительности не о десятичной, а о двоично-десятичной системе счисления. Каждая из отмеченных систем имеет свои достоинства и недостатки, а также свои области применения.
Достоинствами двоичной системы счисления относительно двоично-десятичной являются:
1) экономия порядка 20 % оборудования;
2) примерно в 1,5 раза более высокое быстродействие;
3) упрощение логического построения и значительная экономия оборудования в схемах управления и во вспомогательных цепях.
Достоинствами двоично-десятичной системы являются:
1) отсутствие необходимости перевода исходных данных и результатов расчетов из одной системы в другую;
2) удобство контроля промежуточных результатов путем вывода их на индикацию для визуального наблюдения;
3) более широкие возможности для автоматического контроля из-за наличия в двоично-десятичном коде избыточных комбинаций.
Двоичную систему счисления применяют в больших и средних ЭВМ, предназначенных для решения научно-технических задач, для которых характерен большой объем вычислений и сравнительно малый объем исходных данных и результатов вычислений. Ее также целесообразно применять в ЭВМ, предназначенных для управления технологическими процессами.
Двоично-десятичную систему счисления применяют для решения экономических задач, которые характеризуются большим объемом исходных данных, сравнительной простотой и малым объемом выполняемых над ними преобразований и большим количеством результатов вычислений. Эту систему целесообразно также применять в калькуляторах, ЭВМ, предназначенных для инженерных расчетов, а также в персональных ЭВМ.
4. Двоичная система счисления
Под двоичной системой счисления понимается такая система, в которой для изображения чисел используются два символа, а веса разрядов меняются по закону 2 +-к, где к - произвольное целое число. Классической двоичной системой является система с символами 0, 1. Ее двоичные цифры часто называют битами. В общем виде все двоичные числа представляются в виде:
А= ∑а і 2 і , (і от -к до n)
Чтобы овладеть любой системой счисления, надо уметь выполнять в ней арифметические операции. Арифметические операции в двоичной системе счисления выполняются так же, как и в десятичной в соответствии с таблицами поразрядных вычислений.
Сложение в двоичной системе счисления производится по правилам сложения полиномов. Поэтому при сложении чисел А и В i-й разряд суммы S i и перенос П i из данного разряда в (i+1) разряд будет определяться в соответствии со следующим выражением:
а і +b і + П і-1 =S і +П і+1
| а і | b і | П і-1 | S і | П і+1 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 0 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 0 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 0 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 1 | 1 | 0 |
| 0 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 1 | 0 | 1 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
Таблица умножения двух двоичных чисел полностью определяется двумя правилами:
Умножение любого числа на ноль дает в результате ноль,
Умножение любого числа на 1 оставляет его без изменения, т.е. результат равен исходному числу.
4.1 Навыки обращения с двоичными числами
Хотя все правила выполнения операций в двоичной системе счисления очень просты, но тем не менее при работе с двоичными числами из-за отсутствия навыков возникают разного рода неудобства. Ниже приведены некоторые простые приемы, которые позволяют довольно свободно обращаться с двоичными числами.
Таблица 4.1.
| n | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
| 2 n | 1 | 2 | 4 | 8 | 16 | 32 | 64 | 128 | 256 | 512 | 1024 | 2048 | 4096 |
1. Число 100...00 = 2 n .
Необходимо знать наизусть десятичные значения чисел, представленных в таблице 4.1.
2. Число 111...11= 2 n -1.
3. Необходимо знать наизусть десятичные значения двоичных чисел от 0 до 31 включительно. Эти числа в дальнейшем будут называться “малыми числами”.
4. Двоичное число
А= а n - k +5 а n - k +4 а n - k +3 а n - k +2 а n - k +1 000...000
малое число k нулей равно а2 k .Пример. 11011000=11011х2 3 = 27 х 8 = 216.
Двоичное число
А= а n - k +5 а n - k +4 а n - k +3 а n - k +2 а n - k +1 00...00 b 5 b 4 b 3 b 2 b 1 = а х 2 k + b
малое число a малое число b k разрядовПример. 10110000101 = 1011 х 2 7 + 101 = 11 х 128 + 5 = 1413.
5. Если в n- разрядном числе много единиц и мало нулей, то для определения его количественного эквивалента можно из n разрядного числа, записанного одними единицами, вычесть малое число, в котором разряды со значением 1 соответствуют разрядам исходного числа с нулевым значением и наоборот.
Пример. 11111101001 соответствует
11111111111 = 2 11 - 1
т.е. 11111101001 = 2048 -1 - 10110 = 2047 - 22 = 2025.
6. Чтение двоичных дробей
А= 0,000...001 = 2 - n Дробь А = 0,111...111 = 1 - 2 - k .Двоичная дробь читается по тем же правилам, что и десятичная: разряды справа от запятой читаются как целое число, которое является числителем; знаменатель читается как целое число, являющееся 2 k , причем k - номер младшего разряда справа от запятой.
5. Формы представления двоичных чисел в ЭВМ
Машинное представление числа – это представление числа в разрядной сетке ЭВМ.
Машинное изображение числа условно обозначают [A].
При этом А=[A]k A ,
где k A – масштабный коэффициент, величина которого зависит от формы представления числа в ЭВМ.
Под формой представления числа в ЭВМ понимают свод правил, позволяющий установить взаимное соответствие между записью числа и его количественным эквивалентом.
Если произвольное вещественное число А`=[A]k A , то такое число представлено в разрядной сетке машины точно. Если А`≠[A]k A , то произвольное вещественное число может быть представлено в машине приближенно или вообще не может быть представлено. При приближенном представлении вещественное число А` заменяется некоторым числом [А], принадлежащим множеству машинных чисел. Множеству машинных чисел принадлежат только числа, кратные двум, так как любые два попарно соседних машинных числа отличаются друг от друга на величину 2 - n , где n - количество разрядов.
А min ‹ |A| ‹ A max
Если |A| ‹ A min , такое число называют машинным нулем. Числа, большие чем A max , не могут быть представлены. В этом случае говорят о переполнении разрядной сетки.
Существует три формы представления чисел в ЭВМ: естественная, с фиксированной запятой и нормальная (с плавающей запятой).
Естественной формой записи числа называется запись числа в виде полинома, представленного в сокращенном виде:
А= а n a n-1 ... a 1 a 0 a --1 a --2 ... a --k
При этом отсчет весов разрядов ведется от запятой. Запятая ставится на строго определенном месте – между целой и дробной частью числа. Поэтому для каждого числа необходимо указать положение его запятой в одном из разрядов кода, т.е. в общем случае место положения запятой должно быть предусмотрено в каждом разряде. Обычно такую форму представления используют в калькуляторах.
Если место запятой в разрядной сетке машины заранее фиксировано, то такое представление называется представлением с фиксированной запятой (точкой).
В большинстве ЭВМ с фиксированной запятой числа, с которыми оперирует машина, меньше единицы и представлены в виде правильных дробей, т.е. запятую фиксируют перед старшим разрядом числа, причем числа, больше единицы, приводятся к такому виду при помощи масштабного коэффициента К А. Представление чисел в виде правильных дробей обусловлено необходимостью уменьшить возможность переполнения разрядной сетки машины, т. е. уменьшить опасность потери значащих цифр старших разрядов при выполнении арифметических операций.
Результат умножения никогда не выходит за пределы разрядной сетки, если запятая расположена перед старшим разрядом. Но в этом случае результаты сложения и деления могут выйти за пределы разрядной сетки (при операции сложения - не более чем на один разряд).
Можно было бы оперировать только малыми числами, так как вероятность переполнения при их сложении мала. Однако это приводит к снижению точности представления чисел и точности вычислений. Поэтому всегда стремятся использовать числа, величины которых близки к максимальному значению. Однако при этом на них накладываются следующие ограничения: 1) абсолютная величина суммы двух чисел должна быть меньше единицы; 2) делитель по абсолютной величине должен быть больше делимого.
В ячейке машины с фиксированной перед старшим разрядом запятой число записывается в разрядную сетку в виде значащей части дроби со своим знаком, т. е. для записи n-значной дроби разрядная сетка должна содержать n + 1 разряд.
Разрядная сетка или формат числа в двоичной системе счисления имеет вид:
Запятая| Знак | 2 -1 | 2 -2 | 2 -n |
Здесь n разрядов используют для изображения цифровой части числа и 1 – для знака.
Величины чисел, представляемых в машинах с фиксированной перед старшим разрядом запятой, лежат в пределах:
2 -n ≤ |А| ≤ 1-2 -n
В этом случае: |А| min =0,...01 = 2 - n , а |А| max = 0,1...1= 1-2 -n . (Запятая разделяет целую и дробную части).
Начиная с вычислительных машин 2-го поколения, форматы чисел в ЭВМ представляются кратными байту, т. е. n=8, или 16, 32.
Во всех рассмотренных форматах могут изображаются числа, которые по своей абсолютной величине меньше 1, что упрощает конструкцию, уменьшает объем оборудования. Недостатком такого представления чисел является необходимость выполнения трудоемкого расчета масштабов в процессе подготовки задачи для решения в ЭВМ.
Нередко запятую фиксируют после младшего разряда числа. Тогда все данные представляются в виде целых чисел. В этом случае также необходимо масштабирование исходных данных.
Веса разрядов в формате числа, содержащего n+1 разряд (1 знаковый) представлены на рисунке:
| Знак | 2 n-1 | 2 n -2 | 2 1 | 2 0 |
Отдельных разрядов для записи целой части числа (0) и запятой не выделяется, так как их положение обусловлено формой записи чисел.
Знак числа обычно кодируется следующим образом: знаку «+» соответствует 0 в знаковом разряде, знаку «-» - 1.
При представлении чисел с фиксированной запятой в случае выполнения арифметических действий над произвольными числами программист может принять любое условное положение запятой в пределах формата. Но при разработке программы он должен следить за положением запятой во время вычислений, чтобы не возникло переполнение.
Необходимость расчета масштабов, необходимость следить за положением запятой во время вычислений исключаются при представлении чисел с плавающей запятой.
В общем случае число можно представить в виде произведения целой степени основания системы и цифровой части, являющейся правильной дробью:
А= p m a = p m ∑a i p i-m . (i от -k до n),
где a – мантисса, m - порядок.
Формат числа, представленного в форме с плавающей запятой, имеет вид:
порядок S+1разрядов мантисса n+1 разрядов
В разрядной сетке предусмотрено наличие разряда для фиксации знака мантиссы, который соответствует знаку числа.
Представление числа с плавающей запятой можно проиллюстрировать на следующем примере:
987.54 =10 3 * 0.98754,
987.54 =10 4 * 0.098754,
987.54 =10 5 *0.0098754.
В целях однозначного представления любого числа введено понятие “нормализованное число”. Нормализованным считается число А , мантисса которого удовлетворяет неравенству:
2 -1 ≤ |а| ≤ 1-2 -n
Другими словами, нормализованным считается то число, у которого старший разряд равен 1.
Диапазон представления порядка числа лежит в пределах:
2 S -1≥ m≥ –(2 S -1).
Отсюда следует, что диапазон представления чисел для p = 2:
минимальное число:
и максимальное:
Очевидно, что диапазон представления чисел в машинах с плавающей запятой значительно больше, чем в машинах с фиксированной запятой:
≈=Сопоставляя между собой две основные формы представления чисел в ЭВМ, можно прийти к следующим выводам.
Диапазон представления чисел в машинах с фиксированной запятой значительно меньше, чем в машинах с плавающей запятой, а точность зависит от величины исходных чисел. Программирование для машин с фиксированной запятой значительно сложнее, т.к. приходится вводить масштабные коэффициенты, чтобы избежать переполнения масштабной сетки при выполнении арифметических операций.
Однако машины с плавающей запятой конструктивно более сложны, так как необходимо вводить дополнительное оборудование для выполнения операций над порядками чисел, а также предусмотреть операцию нормализации и выравнивания порядков чисел. Время выполнения операций над числами в машине с плавающей запятой больше, чем в машине с фиксированной запятой, что обусловлено необходимостью работы с порядками.
Как и при фиксированной запятой, здесь возможно переполнение разрядной сетки, которое выражается в том, что результат какой-либо операции имеет порядок больше допустимого. Это приводит к аварийной ситуации. При выполнении операций возможно получение чисел, имеющих порядок меньше допустимого и нормализованную мантиссу. Эти числа рассматриваются как машинные нули, так же как и числа, имеющие нулевую мантиссу и допустимый порядок.
Иногда нормальную форму представления чисел называют полулогарифмической, так как порядок числа р выражен в логарифмической форме.
6. Точность представления чисел в ЭВМ
При решении различных задач требуется различная точность получаемых результатов. Так, при решении инженерных задач достаточна точность до 3-4 десятичных знаков (10-13 двоичных), при решении научных задач - 5-6 десятичных или 16-20 двоичных знаков и при решении особо точных задач - до 50 двоичных разрядов.
При ограниченной длине машинных слов множество чисел, которые можно представить в машине, является конечным. Поэтому представление чисел в ЭВМ, как правило, влечет за собой появление погрешностей, величина которых зависит как от формы представления чисел, так и от длины разрядной сетки.
Точность представления числа характеризуется абсолютной и относительной погрешностями.
Абсолютная погрешность - это разность между истинным значением величины А и ее значением, полученным из машинного изображения [А], т. е.
Усредненная абсолютная погрешность представления чисел в машинах с фиксированной запятой определяется как среднее арифметическое между минимально представимым числом и его минимальной потерей, т. е.
В машинах с фиксированной запятой абсолютная погрешность постоянна и равна половине младшего разряда.
Относительная погрешность представления определяется как отношение усредненной абсолютной погрешности к самому числу:
.
Так как само число с фиксированной запятой меняется в пределах
,то и относительная погрешность является величиной переменной, меняющейся соответственно в пределах
Следовательно, в машинах с плавающей запятой, в отличие от машины с фиксированной запятой, относительная погрешность изображения чисел во всем диапазоне представления практически постоянна и для чисел с нормализованной мантиссой зависит от количества разрядов мантиссы: чем их больше, тем меньше погрешность представления.
В некоторых вычислительных средствах информационной единицей являются не отдельные числа, а их блоки или массивы, т. е. последовательности, состоящие из сотен и тысяч чисел. В этих случаях нередко применяется промежуточная форма представления чисел в ЭВМ, так называемое представление с поблочно плавающей запятой, при котором всему массиву чисел присваивается общий порядок и массив считается нормализованным, если хотя бы одно его слово является нормализованным. Естественно, что относительная погрешность представления отдельных элементов массива будет при этом различной. Как и в случае представления с фиксированной запятой, максимальный по абсолютной величине элемент будет представлен с минимальной, в то время как минимальный по абсолютной величине элемент массива - с максимальной относительной погрешностью. Однако это не имеет существенного значения, так как основную информационную нагрузку в этих случаях несут максимальные элементы массивов. Вместе с тем благодаря представлению чисел с поблочно плавающей запятой удается при приемлемой точности вычислений значительно сократить объем оборудования, а главное - время выполнения операции, так как действия над порядками в этом случае выполняются только один раз за время обработки всего массива чисел.
Из этого следует, что нельзя отдать предпочтение какой-либо одной форме представления чисел. Обычно в ЭВМ общего назначения применяют нормальную форму. Этим обеспечивается большой диапазон представления чисел, высокая точность вычислений, простота программирования. Усложнение аппаратуры этих ЭВМ имеет второстепенное значение.
В специализированных ЭВМ чаще применяют фиксированную или поблочно плавающую запятую, если информация обрабатывается отдельными массивами, так как эти формы обеспечивают простоту конструкции ЭВМ. Диапазон изменения величин известен заранее, масштабные коэффициенты подбираются один раз, требуемая точность вычислений также известна заранее и определяет длину разрядной сетки.
В современных ЭВМ используются обе формы представления чисел. При этом в большинстве случаев формат чисел с фиксированной запятой служит для представления целых двоичных и десятичных чисел и выполнения операций над ними, что, например, необходимо для операций над кодами адресов (операции индексной арифметики).
Вывод
В процессе написания реферата мы ознакомились с:
С понятием системы счисления;
Классификацией систем счисления;
Переводом чисел из одной системы счисления в другую;
Выбором системы счисления для применения в ЭВМ;
Двоичной системой счисления;
Формами представления двоичных чисел в ЭВМ;
Точностью представления чисел в ЭВМ и др.
Литература
1. Самофалов К.Г., Романкевич А.М., и др. Прикладная теория цифровых автоматов. - Киев. “Вища школа” 1987.
2. Соловьев Г.Н. Арифметические устройства ЭВМ. - М. “Энергия”. 1978.
3. Савельев А.Я. Прикладная теория цифровых автоматов - М. “Высшая школа”. 1987.
4. Каган Б.М. Электронные вычислительные машины и системы. - М. Энергоатомиздат. 1985.
5. Лысиков Б.Г. Арифметические и логические основы цифровых автоматов. - Минск. “Вышэйшая школа”. 1980.
Загрузка...
